Grammaire de Ramanujan et arbres de Cayley

— We study three sequences of polynomials defined as successive derivatives with respect to a differential operator associated with a grammar (one of these sequences was originally introduced by Ramanujan). Combinatorial interpretations for these polynomials are found in terms of rooted trees and graphs of mappings from [n] to [n]. Introduction Dans [Ra], [B], Ramanujan (et B. Berndt à sa suite) a introduit une suite-double d’entiers a(n, k) donnés par une récurrence simple, qui raffinent la suite (n). Dans cet article nous donnons d’abord de nouvelles définitions calculatoires pour ces entiers et pour des raffinements analogues des suites (nn−1) et (nn−2) (§ 1, § 2). Puis dans une deuxième partie nous en proposons des interprétations combinatoires, en introduisant sur les arbres les notions de cadet, arête simple, arête double et le paramètre statistique “arc” (§ 3). L’énoncé fondamental (dont les autres se déduisent aisément) est constitué par la proposition 5 (§ 4), dont nous donnons deux démonstrations : une démonstration détaillée et élémentaire (§ 5), qui présente l’avantage d’interpréter du même coup la grammaire de Ramanujan introduite au § 2 et les récurrences de type triangle de Pascal sur les coefficients ; puis une démonstration plus expéditive et plus savante (§ 7), qui nous a été suggérée par J. Zeng, combinant des composés partitionnels abélien et non abélien. 1. Inversions de séries Rappelons la proposition suivante, qu’on démontre classiquement à l’aide de la formule d’inversion de Lagrange, ou par des méthodes combinatoires ([BLL], [B], [F], [Ri], [W]) : PROPOSITION 1. — Soit y une série formelle en x sans terme constant. Alors on a l’équivalence (1) x = y e−y ⇐⇒ y = x+ 2 x 2 2! + 3 x 3! + · · ·+ nn−1 n n! + · · · On en déduit une autre inversion de série, sous la forme de la proposition 2 suivante. PROPOSITION 2. — Soit z une série formelle en x sans terme constant. Alors on a équivalence entre les deux relations suivantes : x = −(1− z) Log(1− z) = z − z 2 2 − z 3 6 − z 4 12 − · · · − z n n (n− 1) − · · · (2) z = x+ x 2! + 2 x 3! + 3 x 4! + · · ·+ n x n+1 (n+ 1)! + · · · (2′) En effet, posons z = 1 − e−y, y étant la solution de x = y e−y. On a donc x = −(1 − z) Log(1 − z). D’autre part, en différentiant la relation y = x e, on obtient y′ = e + x eyy′. Par suite, z′ = (1− e−y)′ = e−yy′ = 1 + xy′ = ∑